Calculer le déterminant tridiagonal \[\Delta_n= \begin{vmatrix} 1+x^2 & x &0 &\dots & 0 \\ x & 1+x^2 & x & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & x & 1+x^2 & x \\ 0 & \dots & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} .\]


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[ID: 2147] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Un déterminant tridiagonal
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

Adopter la méthode classique pour les déterminants tridiagonaux : développer par rapport à la dernière colonne, puis développer le deuxième déterminant par rapport à la dernière ligne. On trouve la relation de récurrence \[\forall n\geqslant 2, \quad\Delta_n -(1+x^2)\Delta_{n-1} + x^2\Delta_{n-2} = 0\] avec \(\Delta_1=(1+x^2)\) et \(\Delta_2=(1+x^2)^2-x^2\), et la relation de récurrence est vérifiée en posant artificiellement \(\Delta_0=1\). L’équation caractéristique est \((r-1)(r-x^2)=0\). On distingue donc deux cas :

  1. Si \(x=1\), \(1\) est racine double de l’équation caractéristique, donc \(\exists \lambda,\mu \in \mathbb{R}^{2}\) tel que \(\forall n\in\mathbb N, \Delta_n = \lambda + \mu n\). En utilisant les conditions initiales \(\Delta_0\), \(\Delta_1\), on trouve que \(\boxed{ \Delta_n = 1+n}\).

  2. Si \(x\neq 1\), \(\exists \lambda, \mu \in \mathbb{R}\) tels que \(\forall n\in \mathbb N\), \(\Delta_n=\lambda + \mu x^{2n}\). Avec les conditions initiales, on trouve que \[\boxed{ \Delta_n= \dfrac{1}{x^2-1}\left( -1 + x^{2n+2} \right)=1+x^2+\dots+x^{2n} }.\]


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