Caluler \(D = \mathop{\rm det}\left(\max(i,j)\right) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 2 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 3 & 3 & 3 & \ldots & n \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ n & n & \ldots & \ldots & n \end{vmatrix}\).


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[ID: 2133] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 320
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

On soustrait la première ligne à chacune des autres : \(D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ n-1 & n-2 & \ldots & \ldots & 0 \end{vmatrix}\).
On développe par rapport à la première ligne : \(D = \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}k D_k\). Tous les déterminants extraits ont une dernière colonne nulle et sont donc nuls, sauf \(D_n\) qui est un déterminant triangulaire inférieur avec des \(1\) sur la diagonale. Donc \(D_n =1\) et \(D = (-1)^{n+1}n\).


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