Soit \(\alpha,\beta\in \mathbb{K}\). Calculer le déterminant tridiagonal avec \(\alpha+\beta\) sur la diagonale principale, \(1\) en dessous et \(\alpha\beta\) au dessus.


Barre utilisateur

[ID: 2123] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Un déterminant tridiagonal
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

En appelant \(D_n\) le déterminant de taille \(n\). On a \(D_0 = 1\) et \(D_1 = \alpha+\beta\). En développant par rapport à la première colonne : \(D_n = (\alpha+\beta)D_{n-1} - \begin{vmatrix} \alpha\beta & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\ 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & 1 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \alpha\beta \\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & \alpha+\beta \end{vmatrix}\).
En développant ce dernier déterminant par rapport à la première ligne, on obtient alors \(D_n = (\alpha+\beta)D_{n-1} - \alpha\beta D_{n-2}\). La suite \(D_n\) est solution d’une récurrence linéaire, dont l’équation caractéristique a pour racines \(\alpha\) et \(\beta\). Donc \(D_n = \lambda \alpha^n + \mu\beta^n\). Les conditions initiales donnent \(D_n = \dfrac{\alpha}{\alpha-\beta} \alpha^n + \dfrac{\beta}{\beta-\alpha}\beta^n\).


Documents à télécharger

L'exercice