Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et l’application \(f : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} }) \\ M & \longmapsto & AM \end{array} \right.\). Exprimer \(\mathop{\rm det}(f)\) en fonction de \(\mathop{\rm det}(A)\).


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[ID: 2117] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 156
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

Dans la base canonique \(c\) de \(\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} })\), la matrice de \(f\) s’écrit \[\mathop{\mathrm{Mat}}_{c}{f} = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 & a_{22} \end{pmatrix}.\] On calcule son déterminant (faire apparaître un bloc de \(0\) en bas à gauche en étudiant deux cas, \(a_{22} \neq 0\) et \(a_{22} = 0\)) et on trouve \(\mathop{\rm det}(f) = \mathop{\rm det}(A)^2\).


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