On considère une matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) et on définit la matrice \(A' = (~(-1)^{i+j} a_{ij} )\). Exprimer \(\mathop{\rm det}(A')\) en fonction de \(\mathop{\rm det}(A)\).


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[ID: 2115] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 981
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

En utilisant la formule du déterminant, \[\mathop{\rm det}(A') = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)} \varepsilon(\sigma) (-1)^{1+\sigma(1)}\dots (-1)^{n + \sigma(n)} a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}.\] Mais \((-1)^{1+\sigma(1)}\dots (-1)^{n+\sigma(n)} = (-1)^{n(n+1)} = 1\) et donc \(\mathop{\rm det}(A') = \mathop{\rm det}(A)\).


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