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Exercice 886
On considère une matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telle que \[\forall (i, j) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2,~ i + j > n + 1 \Rightarrow a_{ij} = 0.\] Calculer \(\mathop{\rm det}(A)\). Si on suppose de plus que \(a_{ij} > 0\) lorsque \(i + j \leqslant n + 1\), déterminer le signe de \(\mathop{\rm det}(A)\).
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[ID: 2113] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 886
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:28
Étudier deux cas :
\(n\) pair : \(n = 2p\). En effectuant les échanges de colonnes \(\leftrightarrow C_1{C_n}\), …, \(\leftrightarrow C_p{C_{p+1}}\), on trouve une matrice triangulaire supérieure et le déterminant vaut \[(-1)^{p} a_{1,n}a_{2,n-1}\dots a_{n, 1}.\]
\(n\) impair : \(n = 2p + 1\). En effectuant les échanges de colonnes \(\leftrightarrow C_1{C_n}\), …, \(\leftrightarrow C_p{C_{p+2}}\) on trouve également que \(\mathop{\rm det}(A) = (-1)^{p} a_{1, n}\dots a_{n, 1}\).
Le signe de \(\mathop{\rm det}(A)\) dépend de \(n\) modulo \(4\) (parité de \(p\)).
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