Calculer le déterminant \(D = \begin{vmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{vmatrix}\).


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[ID: 2111] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 579
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

On propose deux solutions.

  1. Soit \(A = \begin{pmatrix} a \\ a^2 \\ a^3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} b \\ b^2 \\ b^3 \end{pmatrix}\) et \(C = \begin{pmatrix} c \\ c^2 \\ c^3 \end{pmatrix}\). En développant,
    \(D = \begin{vmatrix} A+B & B+C & C+A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & B & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A & B & A \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A & C & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A & C & A \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & B & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & B & A \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & C & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & C & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & B & C \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B & C & A \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} A & B & C \end{vmatrix}\).
    En mettant \(abc\) en facteur, on trouve un déterminant de Vandermonde, et donc \(D = 2abc(c-a)(c-b)(b-a)\).

  2. On écrit \[\begin{pmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\] On a \[\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = abc\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = abc(c-a)(c-b)(b-a)\] toujours grâce au déterminant de Vandermonde, et \[\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2.\] D’où le résultat.


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