Calculer les déterminants \[\Delta_1= \begin{vmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & -1 & & \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 1 & & & -1 \end{vmatrix}\quad \Delta_2= \begin{vmatrix} (x+1) &1 &\dots & &1 \\ 2 &(x+2) &2 &\dots &2 \\ 3 & 3&(x+3) &\ddots &3 \\ \vdots & &\ddots &\ddots & \\ n & & \dots& & (x+n)\\ \end{vmatrix}.\]


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[ID: 2107] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 5
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

Pour \(\Delta_1\), ajouter toutes les colonnes à la première : \[C_1 \leftarrow C_1 + \dots + C_n.\] On trouve alors un déterminant triangulaire : \(\Delta_1=(-1)^{n-1}(n-1)\).

Pour \(\Delta_2\), retrancher la première colonne à toutes les autres : \[C_2 \leftarrow C_2 - C_1,\quad\dots \quad C_n \leftarrow C_n - C_1.\] On remarque ensuite que dans les \(n-1\) dernières colonnes, la somme de tous les éléments vaut \(0\). Ajouter donc toutes les lignes à la première. On se ramène à un déterminant triangulaire : \(\Delta_2= x^{n-1}\left( x+ \dfrac{n(n+1)}{2}\right)\).


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