Montrer que pour toute permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(5\right)\), il existe \(k \in [\kern-0.127em[ 1, 6 ]\kern-0.127em]\) tel que \(\sigma^k = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


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[ID: 2105] [Date de publication: 17 mai 2021 11:27] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 880
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:27

Décomposons une permutation \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints. Les cycles possibles sont de longueur \(2,3,4,5\). Puisque les supports des cycles sont disjoints dans \([\kern-0.127em[ 1, 5 ]\kern-0.127em]\), il n’y a que les possibilités suivantes : \(\sigma = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), \(\sigma = c_2\), \(\sigma = c_3\), \(\sigma = c_4\), \(\sigma = c_5\), \(\sigma = c_2 \circ c_2'\), \(\sigma = c_2\circ c_3\), où \(c_l\) désigne un cycle de longueur \(l\) pour lequel \(c_l^l = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). On vérifie que dans tous les cas, il existe \(k \in \{1,2,3,4,5,6\}\) tel que \(\sigma^k = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


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