Montrer que la signature est le seul morphisme de groupes non trivial de \((\mathfrak{S}\left(n\right), \circ)\) vers \((\mathbb{R}^{*}, \times)\).

On pourra utiliser l’exercice [exo_gr_sym_2].

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[ID: 2103] [Date de publication: 17 mai 2021 11:27] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 392
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:27

Soit \(\varphi\) un tel morphisme. On doit avoir \[\forall (\sigma_1, \sigma_2) \in \mathfrak{S}\left(n\right)^2, \quad \varphi(\sigma_1 \circ \sigma_2) = \varphi(\sigma_1) \times \varphi(\sigma_2).\] Soit une transposition \(\tau\). Comme \(\tau^2 = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), on doit avoir \(\varphi(\tau)^2 = 1\) et donc \(\varphi(\tau) = \pm 1\). Par conséquent, puisque toute permutation se décompose comme produit de transpositions, on en déduit que \(\mathop{\mathrm{Im}}\varphi\subset \{-1, 1\}\).

Supposons que \(\varphi\) n’est pas triviale. Il existe alors une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\) telle que \(\varphi(\sigma) = -1\), et comme \(\sigma\) se décompose en produit de transpositions de la forme \(\tau_{1i}\), il existe \(i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\) telle que \(\varphi(\tau_{1i}) = -1\). Mais alors pour \(j \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(j \neq i\), \(\tau_{1j}\circ \tau_{1i} = \begin{pmatrix} i&j&1 \end{pmatrix} = c\), mais puisque \(c^3 = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), \(1 = \varphi(c)^3 = \varphi(\tau_{1i})^3 \varphi(\tau_{1j})^3 = -1\), et donc \(\varphi(\tau_{1j})=-1\).

Soit alors une permutation quelconque. Elle se décompose comme un produit de transpositions de la forme \(\tau_{1i}\) : \[\sigma = \tau_{i_1} \circ \dots \circ \tau_{i_k}\] et alors \(\varphi(\sigma) = (-1)^k = \varepsilon(\sigma)\).


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