Dans un groupe \(G\), étant donné un élément \(g \in G\), on considère la conjugaison : \[\varphi_g : \left\{ \begin{array}{ccl} G & \longrightarrow & G \\ x & \longmapsto & gxg^{-1} \end{array} \right. .\]

  1. Montrer que \(\forall g \in G\), l’application \(\varphi_g\) est un automorphisme de \(G\) et que l’application \[\theta : \left\{ \begin{array}{ccl} (G, .) & \longrightarrow & (\textrm{ Aut(G)}, \circ) \\ g & \longmapsto & \varphi_g \end{array} \right.\] est un morphisme de groupes.

  2. Dans le groupe symétrique \(\mathfrak{S}\left(n\right)\), on considère une transposition \(\tau = \tau_{ij}\) et une permutation \(\sigma\). Calculer le conjugué \(\sigma' = \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} = \varphi_{\sigma}(\tau)\).

  3. Calculer le conjugué d’un cycle \(c = (i_1~\dots~i_k)\) par une permutation \(\sigma\) : \(\sigma' = \sigma \circ c\circ \sigma^{-1}\).


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[ID: 2101] [Date de publication: 17 mai 2021 11:26] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 713
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:26
  1. Vérification sans problème.

  2. Notons \(k = \sigma(i)\) et \(l = \sigma(j)\). On calcule \(\sigma'(k) = \sigma(j) = l\) et \(\sigma'(l) = \sigma(i) = k\). Si \(p \not\in \{k, l\}\), \(\sigma'(p) = \sigma(\sigma^{-1}(p)) = p\). Par conséquent, \(\sigma' = \tau_{\sigma(i)\sigma(j)}\).

  3. Décomposons le cycle en produit de transpositions : \[c = \tau_{i_1i_2}\circ \tau_{i_2i_3}\circ \dots \circ \tau_{i_{k-1}i_k}\] Puisque \(\theta\) est un morphisme, on a \[\varphi_{c} = \varphi_{\tau_{i_1i_2}}\circ \dots \circ \varphi_{\tau_{i_{k-1}i_k}}\] et donc pour \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\), \(\varphi_{c}(\sigma) = \tau_{\sigma(i_1)\sigma(i_2)}\dots \tau_{\sigma\left(i_{k-1}\right)\sigma\left(i_k\right)} = (\sigma(i_1),\dots ,\sigma\left(i_k\right))\). Le conjugué d’un cycle par une permutation est encore un cycle.


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