On définit le centre d’un groupe \((G, .)\) comme étant les éléments du groupe qui commutent avec tous les éléments du groupe : \[Z(G) = \{g \in G \mid \forall h \in G, g.h = h.g \}.\] On a vu dans l’exercice [exo_centre_groupe] page [exo_centre_groupe] que \(Z(G)\) est un sous-groupe de \(G\). Déterminer le centre du groupe symétrique \(\mathfrak{S}\left(n\right)\) lorsque \(n \geqslant 3\).


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[ID: 2097] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Centre du groupe symétrique
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23

Considérons une permutation \(\sigma\) qui commute avec toutes les permutations. Elle doit en particulier commuter avec toutes les transpositions \(\tau_{ij}\). D’après l’exercice précédent, \(\{i,j\}\) doit être stable par \(\sigma\). Considérons maintenant \(k \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). Puisque \(n \geqslant 3\), on peut trouver trois entiers distincts \(\{i,j,k\}\) dans \([\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). En considérant la transposition \(\tau_{ik}\), \(\sigma(k) \in \{i,k\}\) et en considérant la transposition \(\tau_{jk}\), \(\sigma(k) \in \{j,k\}\) et par conséquent, \(\sigma(k) = k\). Nous avons montré que \(\sigma = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et que \(Z(\mathfrak{S}\left(n\right)) = \{\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\}\).


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