Déterminer les permutations \(\sigma\) qui commutent avec une transposition \(\tau_{ij}\).


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[ID: 2095] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 550
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23

Montrons que \(\tau_{ij}\circ \sigma = \sigma \circ \tau_{ij}\) si et seulement si \(\{i, j\}\) est stable par \(\sigma\).

  • \(\boxed{\Rightarrow}\) Si \(\sigma(j) \not\in \{i, j\}\), on aurait \(\sigma(j) = \sigma(i)\) ce qui est impossible. Donc \(\sigma(j) \in \{i, j\}\). De même, \(\sigma(i) \in \{i, j\}\).

  • \(\boxed{\Leftarrow}\) Seuls deux cas sont possibles : \(\sigma(i) = i\) et \(\sigma(j) = j\) ou bien \(\sigma(i) = j\) et \(\sigma(j) = i\) et dans les deux cas, on vérifie facilement que \(\sigma\) commute avec \(\tau_{ij}\).


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