1. Montrer que toute permutation peut s’écrire comme produit de transpositions de la forme \(\tau_{1,i}\) avec \(i \in [\kern-0.127em[ 2, n ]\kern-0.127em]\).

  2. Montrer que toute permutation paire peut s’écrire comme produit de cycles de longueur \(3\).


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[ID: 2093] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 676
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23
  1. On sait d’après le cours que toute permutation \(\sigma\) peut s’écrire comme produit de transpositions \(\tau_{ij}\). Il suffit donc de montrer qu’une transposition \(\tau_{ij}\) avec \(1\neq i\), \(1 \neq j\) peut s’écrire comme produit de transpositions \(\tau_{1k}\). Le calcul suivant montre que c’est le cas : \[\tau_{1i}\circ \tau_{1j} \circ \tau_{1i} = \tau_{ij}.\]

  2. Soit \(\sigma \in \mathcal{A}_n\) une permutation paire. D’après 1., elle s’écrit comme produit d’un nombre pair de transpositions de la forme \(\tau_{1i}\). Mais si l’on calcule le produit de deux telles transpositions, on trouve un \(3\)-cycle : \[\tau_{1i} \circ \tau_{1j} = (1,~j,~i).\] Par conséquent, notre permutation paire \(\sigma\) s’écrit comme produit de tels \(3\)-cycles.


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