On considère la permutation de \(\mathfrak{S}\left(2n\right)\) définie par \[\sigma(p) = \begin{cases} 2p - 1 & \textrm{ si } 1 \leqslant p \leqslant n \\ 2(p-n) & \textrm{ si } n < p \leqslant 2n \end{cases}.\] Déterminer sa signature.


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[ID: 2091] [Date de publication: 17 mai 2021 11:23] [Catégorie(s): Groupe symétrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 979
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:23

Pour \(n = 2\), on trouve \(\varepsilon(\sigma) = -1\). Pour \(n = 3\), \(\sigma = \bigl(\begin{smallmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 1&3&5&2&4&6 \end{smallmatrix}\bigr)\) et sa signature vaut \(-1\). Pour \(n\) quelconque, \[\sigma = \bigl(\begin{smallmatrix}1&2&3&\dots& n & (n+1) & (n+2) & \dots & 2n \\ 1&3&5& \dots & (2n-1) & 2 & 4 & \dots & 2n \end{smallmatrix}\bigr)\] Soit \(i \in [\kern-0.127em[ 1, 2n ]\kern-0.127em]\), on compte facilement \(\sharp \{j > i \mid \sigma(j) < \sigma(i) \} = i - 1\) lorsque \(i \leqslant n\) et \(0\) si \(i > n\). Par conséquent, le nombre d’inversions de \(\sigma\) vaut \(1+2+\cdots +(n-1) = (n-1)\times n / 2\) et la signature vaut \((-1)^{{\scriptstyle n(n-1)\over\scriptstyle 2}}\).


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