Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) dérivables vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f'(x) = f(-x)\]


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[ID: 2088] [Date de publication: 12 mai 2021 13:58] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 532
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:58

Soit \(f\) une telle fonction. Elle est deux fois dérivable puisque \(f'\) est une composée de fonctions dérivable (puisque \(f = f' \circ \varphi\)\(\varphi(x) = -x\)), et en dérivant, on trouve que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f''(x) = - f'(-x) = f(x)\). Par conséquent, \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y'' = y\) et donc il existe \(A, B \in \mathbb{R}\) tels que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \[f(x) = Ae^x + Be^{-x}\] Mais alors \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) = Ae^x - Be^{-x} = Ae^{-x} + Be^{x}\) d’où nécessairement \(A=B\) et \(A = -B\) et donc \(f = 0\). La fonction nulle vérifie réciproquement la propriété.


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