Trouver les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f'(x) = f\left( {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} - x\right)\]


Barre utilisateur

[ID: 2086] [Date de publication: 12 mai 2021 13:58] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 797
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:58

Soit une telle fonction \(f\). Elle est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) et en dérivant, elle doit vérifier : \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f''(x) = -f'\left( {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} - x\right) = -f(x)\] Par conséquent, il existe \((A, B) \in \mathbb{R}{2}\) tels que \[\forall x \in \mathbb{R} ,~f(x) = A\cos x + B\sin x\] En reportant dans l’équation, on trouve que \(A = 0\) et donc que \(f(x) = B\sin x\). On vérifie réciproquement que \(\forall B \in \mathbb{R}\), cette fonction convient.


Documents à télécharger