On considère l’équation différentielle \[(E)~: 3y^2(y'' + y') + 6yy'^2 + y^3 = e^{-x}\] On considère une solution \(y\) de \((E)\). Déterminer un entier \(n \in \mathbb N\) tel que la fonction \(y^n\) soit solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Trouver alors une solution de \((E)\).


Barre utilisateur

[ID: 2084] [Date de publication: 12 mai 2021 13:58] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 729
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:58

Pour \(n = 3\), \[z = y^3,~z' = 3y^2y',~ z'' = 6yy'^2 + 3y^2y''\] et par conséquent, \(z\) vérifie l’équation différentielle \[z'' + z' - z = e^{-x}\] En résolvant, il existe \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \[z(x) = e^{-x} + A\mathop{\mathrm{ch}}\left( {\scriptstyle-1+\sqrt 5\over\scriptstyle 2}x\right) + B\mathop{\mathrm{sh}}\left( {\scriptstyle-1+\sqrt 5\over\scriptstyle 2}x\right)\]


Documents à télécharger