Trouver les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant : \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f(x) = \cos x - x - \int_0^x (x - t) f(t)\mathrm{ \;d}t\]


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[ID: 2082] [Date de publication: 12 mai 2021 13:58] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 212
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:58

D’après le théorème fondamental, puisque les fonctions \(f\) et \(t\mapsto tf(t)\) sont continues sur \(\mathbb{R}\), la fonction définie par \(F(x) = x \int_0^x f(t) \mathrm{ \;d}t - \int_0^x tf(t)\mathrm{ \;d}t\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(F'(x) = \int_0^x f(t)\mathrm{ \;d}t + xf(x) - xf(x) = \int_0^x f(t)\mathrm{ \;d}t\). Par conséquent, la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et \[\forall x \in \mathbb{R} ,\quad f'(x) = -\sin x - 1 - \int_0^x f(t)\mathrm{ \;d}t\] En appliquant encore une fois le théorème fondamental, on montre que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) et que \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad f''(x) = -\cos x - f(x)\] donc que \(f\) vérifie une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. En résolvant cette équation, il existe deux constantes \((A, B) \in \mathbb{R}{2}\) telles que \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f(x) = A\cos x + B\sin x + \dfrac{x^2}{2}\sin(x)\] Mais comme d’après l’équation vérifiée par \(f\), \(f(0) = 1\), et l’équation vérifiée par \(f'\), \(f'(0) = -1\), on en tire \(A = 1\) et \(B=-1\). Par conséquent, la seule solution possible est \[f(x) = \cos x - \sin x - \dfrac{x}{2}\sin x\] On vérifie réciproquement que cette fonction est bien solution de notre problème en calculant l’intégrale \(\int_0^x (x - t) f(t)\mathrm{ \;d}t\).


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