Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \([0, 1]\) telles que \(\forall x \in [0, 1]\), \[f(x) = \int_0^x g(t)\mathrm{ \;d}t \textrm{ et } g(x) = \int_0^x f(t) \mathrm{ \;d}t\] Montrer que \(f\) et \(g\) sont nulles.


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[ID: 2080] [Date de publication: 12 mai 2021 13:58] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 877
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:58

D’après le théorème fondamental, puisque \(g\) est continue sur \([0, 1]\), la fonction \(f\) est de classe \(\class{1}\) sur \([0, 1]\), et de même, \(g\) est de classe \(\class{1}\) sur \([0, 1]\), avec \(\forall x \in [0, 1]\), \(f'(x) = g(x)\) et \(g'(x) = f(x)\). On en déduit que \(f\) et \(g\) sont deux fois dérivables sur \([0, 1]\) et que \(\forall x \in [0, 1]\), \(f''(x) = g'(x) = f(x)\), et \(g''(x) = g(x)\). Par conséquent, il existe quatre constantes \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\) et \((A', B') \in \mathbb{R}^{2}\) telles que \[\forall x\in [0, 1],~ f(x) = A\mathop{\mathrm{sh}}x + B\mathop{\mathrm{ch}}x \textrm{ et } g(x) = A' \mathop{\mathrm{sh}}x + B'\mathop{\mathrm{ch}}x\] En injectant dans \(f(x) = \int_0^x g(t)\mathrm{ \;d}t\), et dans \(g(x) = \int_0^x f(t)\mathrm{ \;d}t\), on trouve que \(A = B = A' = B' = 0\) et par conséquent, \(f = g = 0\).


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