Résoudre l’équation différentielle \[(E) \quad x^2y'+y=1\] sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\).


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[ID: 2072] [Date de publication: 12 mai 2021 13:57] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 510
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:57

Soit \(I\) un intervalle ne contenant pas \(0\). Les solutions de \((E)\) sur \(I\) sont les solutions de l’équation normalisée \[(E') \quad y'+\dfrac{1}{x} y= \dfrac{1}{x}\] L’équation homogène associée s’écrit : \[(H) \quad y' + \dfrac{1}{x} y = 0\] Notons \(a(x)=\dfrac{1}{x}\), dont une primitive est \(A(x)=\ln \left|x\right|\). L’ensemble des solutions de l’équation homogène est alors \[S_H = \left\{ x\mapsto ce^{-\ln \left| x\right|}= \dfrac{C}{x} \mid C\in \mathbb{R} \right\}\] (en posant \(C=-c\) si \(I \subset ]-\infty,0[\)). On trouve ensuite une solution particulière évidente, \(\tild{y}(x)= 1\). Les solutions de \((E)\) sur \(I\) sont donc de la forme \[\boxed{ y(x)= 1 + \dfrac{C}{x} }\]

Si maintenant \(0 \in I\), et \(y\) est une solution sur \(I\), alors il existe \(C_1 \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x\in I\subset ]0,+\infty[\), \(y(x)= 1+ \dfrac{C_1}{x}\) et il existe \(C_2\in \mathbb{R}\) tq \(\forall x\in I \subset ]-\infty,0[\), \(y(x)=1+\dfrac{C_2}{x}\). Pour que \(y\) soit solution en \(0\), il faut d’après l’équation que \(y(0)=1\). Pour qu’une telle fonction soit dérivable en \(0\), il faut et il suffit que \(C_1=C_2=0\). La seule solution de \((E)\) sur \(I\) est donc la fonction constante égale à \(1\).


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