On considère l’équation différentielle \[(E):~~ xy'-2y=(x-1)(x+1)^3\]

  1. Résoudre \(\left(E\right)\) sur des intervalles qu’on précisera.

  2. Déterminer les solutions de \(\left(E\right)\) définies sur \(\mathbb{R}\)?


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[ID: 2070] [Date de publication: 12 mai 2021 13:57] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 498
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:57
  1. L’équation normalisée associée à \(\left(E\right)\) est \(\left(N\right)~: y'-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle x}y = {\scriptstyle\left(x-1\right)\left(x+1\right)^3\over\scriptstyle x}\). Celle-ci est définie sur \(I_1=\left]-\infty,0\right[\) et \(I_2=\left]0,+\infty\right[\). Appliquant d’abord sur \(I_1\) puis sur \(I_2\) le théorème fondamental et la méthode de variation de la constante, on trouve que, pour \(k=1,2\), les solutions de \(\left(N\right)\) et donc de \(\left(E\right)\) sont, sur \(I_k\) de la forme : \[\varphi_{\alpha_k}: \left\{ \begin{array}{ccl} I_k & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_k{x}^{2} \end{array} \right. ;\quad \alpha_k\in\mathbb{R}\]

  2. Supposons qu’il existe \(\varphi\) une solution de \(\left(E\right)\) définie sur \(\mathbb{R}\). Alors \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et il existe \(\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{R}\) tel que : \(\varphi_{|I_1} = {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_1{x}^{2}\) et \(\varphi_{|I_2} = {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_2{x}^{2}\). Posons alors : \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_1{x}^{2} &\textrm{ si } x\in I_1 \\ 0 &\textrm{ si } x=0 \\ {\scriptstyle{x}^{4}\over\scriptstyle 2}+2\,{x}^{3}+2\,x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+\alpha_2{x}^{2} &\textrm{ si } x\in I_2 \end{cases} \end{array} \right.\] On vérifie facilement que \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Réciproquement, une fonction \(\varphi\) ainsi définie est solution de \(\left(E\right)\) sur \(\mathbb{R}\).


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