Résoudre l’équation différentielle \[(E) \quad(x^2-1)y'-xy+3(x-x^3)=0\] sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\).


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[ID: 2068] [Date de publication: 12 mai 2021 13:57] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 191
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:57

Soit \(I_1=]-\infty,-1[\), \(I_2=]-1,1[\) et \(I_3=]1,+\infty[\). Sur chacun de ces intervalles, l’équation est équivalente à l’équation normalisée \[(E') : \quad y'-\dfrac{x}{x^2-1}y=3x\] L’ensemble des solutions de l’équation homogène associée est \[\{x\mapsto C\sqrt{\left|x^2-1\right|} \mid C\in \mathbb{R} \}\] On recherche ensuite une solution particulière de la forme \(y(x)=C(x)\sqrt{\left|x^2-1\right|}\) avec \(C'(x)=3x\sqrt{\left|x^2-1 \right|}\), \(C(x)=3\int x\sqrt{\varepsilon(x^2-1)}dx\)\(\varepsilon=+1\) sur \(I_1\) et \(I_3\), \(\varepsilon=-1\) sur \(I_2\). On trouve \(y(x)=3(x^2-1)\) comme solution particulière. Donc la solution générale de \((E)\) sur \(I_k\) s’écrit \[y(x)= 3(x^2-1) + C\sqrt{\left|x^2-1\right|}\] Sur un intervalle \(I\) contenant \(1\) ou \(-1\), puisque la fonction \(\sqrt{\left|x^2-1\right|}\) n’est pas dérivable en \(1\) et \(-1\), la seule solution de \((E)\) est la fonction \(y(x)=3(x^2-1)\).


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