On considère un triangle \((ABC)\). On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les symétriques respectifs des points \(A\), \(B\), \(C\) par rapport aux points \(B\), \(C\), \(A\). Quel rapport y a-t-il entre les aires des triangles \((A'B'C')\) et \((ABC)\) ?


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[ID: 164] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:36] [Catégorie(s): Géométrie du triangle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 96
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:36

L’aire d’un triangle \((ABC)\) est la moitié de l’aire du parallélogramme \(\dfrac{1}{2}\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). En notant \(\mathcal{A}\) le double de l’aire du triangle \(ABC\) et \(\mathcal{A'}\) le double de celle de \(A'B'C'\), on calcule en utilisant la relation de Chasles : \[\begin{aligned} \mathcal{A'}&=\mathop{\rm det}(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'})\\ &= \mathop{\rm det}(\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{BB'}, \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC'}) \\ &= \mathop{\rm det}(\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}, 2\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}) \\ &= \mathop{\rm det}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) + 4\mathop{\rm det}(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}) - 2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) \\ &= \mathcal{A} + 4\mathcal{A} + 2\mathcal{A} = 7\mathcal{A} \end{aligned}\] L’aire du triangle \((A'B'C')\) vaut donc \(7\) fois l’aire du triangle \((ABC)\).


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