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Droite d’Euler d’un triangle
Dans un triangle \(ABC\) non équilatéral et non aplati, on considère l’orthocentre \(H\), le centre \(O\) du cercle circonscrit et le centre de gravité \(G\).
La droite passant par ces trois points est appelé droite d’Euler du triangle \(ABC\).
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[ID: 160] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:35] [Catégorie(s): Géométrie du triangle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]Solution(s)
Solution(s)
Droite d’Euler d’un triangle
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:36
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:36
Proposons une preuve calculatoire de cette propriété :
Dans un repère orthonormé adapté, les coordonnées de \(A\), \(B\) et \(C\) sont \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} b\\0 \end{matrix}\right.}\), \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\c \end{matrix}\right.}\), le centre de gravité a pour coordonnées \(\boxed{G \underset{}{\left|\begin{matrix} (a+b)/3 \\ c/3 \end{matrix}\right.}}\), les trois hauteurs ont pour équation cartésienne \[x = 0, \quad-bx+cy+ab=0, \quad-ax+cy+ab=0\] d’où le point d’intersection des hauteurs : \(\boxed{H \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ -ab/c \end{matrix}\right.}}\). Pour trouver le centre du cercle circonscrit, on peut chercher l’intersection des médiatrices ou résoudre \(\lVert \overrightarrow{\Omega A} \rVert_{ }^2 = \lVert \overrightarrow{\Omega B} \rVert_{ }^2 = \lVert \overrightarrow{\Omega C} \rVert_{ }^2\) ce qui donne \(\boxed{\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} (a+b)/2 \\ c/2 + ab/2c \end{matrix}\right.}}\). On calcule ensuite \[\mathop{\rm det}(\overrightarrow{HG}, \overrightarrow{H\Omega}) = \begin{vmatrix} (a+b)/3 & (a+b)/2 \\ c/3 + ab/c & c/2 + 3ab/2c \end{vmatrix} = 0\] ce qui montre que ces trois points sont alignés.
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