Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan \(\mathcal P\).

  1. En exprimant chacun des vecteurs de l’expression ci dessous au moyen de vecteurs d’origine \(A\), montrer que pour tout point \(M\) de \(\mathcal P\) on a : \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BM}=0.\]

  2. Montrer que la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\) et celle issue de \(B\) ne sont pas parallèles. On notera \(H\) le point d’intersection.

  3. Montrer que \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0\). En déduire que les hauteurs du triangle \(ABC\) sont concourantes. Le point de concours est l’orthocentre du triangle.


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[ID: 158] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:35] [Catégorie(s): Géométrie du triangle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Orthocentre d’un triangle
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:35
  1. Soit \(M\) un point du plan. \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BM} &=&\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{CA}+ \overrightarrow{AM}\right) +\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AM}+ \overrightarrow{CA}.\left(\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AM}\right)\\ &=& \left(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BA} \right). \overrightarrow{AM} + \left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}\right). \overrightarrow{AM} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}\right).\overrightarrow{CA}\\ &=&0\end{aligned}\]

  2. La hauteur issue de \(A\) admet comme vecteur normal \(\overrightarrow{BC}\) et celle issue de \(B\) le vecteur \(\overrightarrow{AC}\). Les points \(ABC\) n’étant pas alignés ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et les deux hauteurs ne peuvent donc être parallèles. Elles sont donc sécantes en un point qu’on notera \(H\).

  3. Utilisant l’égalité établie dans la première question avec \(M=H\) et le fait que \(H\) est à l’intersection des hauteurs issues de \(A\) et de \(B\), on obtient : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH} = 0\). On en déduit que \(H\) est élément de la hauteur issue de \(C\) et que les trois hauteurs de \(ABC\) sont concourantes en \(H\).


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