Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan \(\mathcal P\). Montrer que les trois bissectrices intérieures du triangle \(ABC\) sont concourantes en un point \(K\) du plan et ce que ce point est centre du cercle inscrit à \(ABC\) (c’est-à-dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle).


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[ID: 156] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:35] [Catégorie(s): Géométrie du triangle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Centre du cercle inscrit à un triangles et bissectrices
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:35

Notons \(d_A\), \(d_B\) et \(d_C\) les bissectrices intérieures de \(ABC\) issues respectivement de \(A\), \(B\) et \(C\). Les points \(A\), \(B\) et \(C\) n’étant pas alignés, \(d_A\) et \(d_B\) ne sont pas parallèles et se coupent en un point \(K\) du plan. Par définition d’une bissectrice, on a : \(d\left(K,\left(AB\right)\right) = d\left(K,\left(AC\right)\right) = d\left(K,\left(AB\right)\right) = d\left(K,\left(BC\right)\right)\). Par conséquent, \(d\left(K,\left(CA\right)\right) = d\left(K,\left(CB\right)\right)\) et \(K\) est élément de la bissectrice issue de \(C\). On en déduit que les trois bissectrices intérieures de \(ABC\) sont concourantes en \(K\). Notons \(K_A\), \(K_B\), \(K_C\) les projetés orthogonaux de \(K\) sur respectivement \((BC)\), \((AC)\) et \((AB)\), on a : \(d\left(K,\left(AB\right)\right) =KK_C\), \(d\left(K,\left(AC\right)\right)=KK_B\) et \(d\left(K,\left(BC\right)\right)=KK_A\). D’après ce qui a été fait précédemment, on peut affirmer que ces trois longueurs sont égales : \(KK_A = KK_B =KK_C\). Le point \(K\) est donc le centre du cercle \(\mathscr C\) circonscrit au triangle \(K_A K_B K_C\). Il reste à montrer que les trois côtés du triangles \(ABC\) sont tangents à ce cercle. Comme \(K_A\) est le projeté orthogonal de \(K\) sur \(\left(BC\right)\), la droite \(\left(BC\right)\) est perpendiculaire à un rayon du cercle \(\mathscr C\) et est donc tangente à \(\mathscr C\). On fait de même avec les droites \(\left(AC\right)\) et \(\left(AB\right)\) et on montre que \(\mathscr C\) est bien le cercle inscrit à \(ABC\).


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