Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan \(\mathcal P\). Soient \(G\) l’isobarycentre de \(ABC\).

  1. Soit \(I\) le milieu de \(\left[BC\right]\). Montrer que \(\overrightarrow{AG} = {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\overrightarrow{AI}\). En déduire que \(G\) est élément de la médiane de \(ABC\) issue de \(A\).

  2. En déduire que les médianes du triangle \(ABC\) sont concourantes en \(G\).


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[ID: 154] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:35] [Catégorie(s): Géométrie du triangle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Centre de gravité et médianes d’un triangle
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:35
  1. Comme \(G\) est l’isobarycentre de \(ABC\), on a : \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\). Utilisant la relation de Chasles, on en tire : \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\) c’est-à-dire : \(3\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{0}\) d’où la relation annoncée. La médiane issue de \(A\) étant la droite \(\left(AI\right)\), il est alors clair que \(G\) est élément de cette médiane.

  2. On démontrerait de même que, si \(J\) désigne le milieu de \(\left[AC\right]\) et \(K\) celui de \(\left[AB\right]\) : \(\overrightarrow{BG} = {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3} \overrightarrow{BJ}\) et \(\overrightarrow{CG} = {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3} \overrightarrow{CK}\). Le point \(G\) appartient donc à la médiane de \(ABC\) issue de \(B\) et celle issue de \(C\). Les trois médianes de \(ABC\) sont donc concourantes en \(G\).


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