Résoudre l’équation différentielle: \[\left(E\right)~:\quad(1-x^2) y''-x y'+ 9 y=0\] d’inconnue \(y:]-1;1[ \longrightarrow \mathbb{R}\) supposée deux fois dérivables. On pourra utiliser le changement de variable défini par \(t=\operatorname{arcsin} x\).


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[ID: 2064] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 922
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(\left]-1,1\right[\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(\sin t\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable, il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} y\left(x\right)&=z\left(\operatorname{arcsin} x\right)\\ y'\left(x\right)&= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} z'\left(\operatorname{arcsin} x\right)\\ y''\left(x\right)&= \dfrac{x}{\left(1-x^2\right)^{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}} z'\left(\operatorname{arcsin} x\right) +\dfrac{1}{\left(1-x^2\right)} z''\left(\operatorname{arcsin} x\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''+9f=0\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A\cos 3t + B\sin 3t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto \cos \left(3\operatorname{arcsin} x\right) + B\sin \left(3\operatorname{arcsin} x\right)\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation sur \(\mathbb{R}\).


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