Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \[\left(E\right)~:\quad\left(1+x^2\right)^2 y'' +2x\left(1+x^2\right) y' + 4y =0\] en effectuant le changement de variable \(t=\operatorname{arctan} x\).


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[ID: 2062] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 544
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(\tan t\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable, il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} y\left(x\right)&=z\left(\operatorname{arctan} x\right)\\ y'\left(x\right)&= \dfrac{1}{1+x^2} z'\left(\operatorname{arctan} x\right)\\ y''\left(x\right)&= \dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} z'\left(\operatorname{arctan} x\right) +\dfrac{1}{\left(1+x^2\right)^2} z''\left(\operatorname{arctan} x\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''+4f=0\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A\cos 2t + B\sin 2t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto \cos \left(2\operatorname{arctan} x\right) + B\sin \left(2\operatorname{arctan} x\right)\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation sur \(\mathbb{R}\).


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