Résoudre sur \(\mathbb{R}_+^*\) l’équation différentielle : \[\left(E\right)~:\quad x^2 y'' +3x y' + y = x^2\] en effectuant le changement de variable \(t=\ln x\).


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[ID: 2060] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 588
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(e^t\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} z\left(t\right)&=y\left(e^t\right)\\ z'\left(t\right)&= e^t y'\left(e^t\right)\\ z''\left(t\right)&= e^t y'\left(e^t\right)+e^{2t} y''\left(e^t\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''+2f'+f=e^{2t}\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto \left(At+B\right)e^{-t}+1/9e^{2t}\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto \dfrac{\left(A\ln x+B\right)}{x}+\dfrac{x^2}{9}\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation sur \(]0,+\infty[\).


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