Résoudre sur \(]0,+\infty[\) puis sur \(\mathbb{R}\): \[4xy'' + 2y' -y=0\] (on posera \(t=\sqrt{x}\))


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[ID: 2058] [Date de publication: 12 mai 2021 13:51] [Catégorie(s): Résolution d'équations différentielles par changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 183
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:51

Soit \(y\) une solution de \(\left(E\right)\) sur \(]0,+\infty[\). Posons \(z\left(t\right)=y\left(t^2\right)\). Comme \(y\) est deux fois dérivable il en est de même de \(z\) et on a : \[\begin{cases} z\left(t\right)&=y\left(t^2\right)\\ z'\left(t\right)&= 2t y'\left(t^2\right)\\ z''\left(t\right)&= 2y'\left(t^2\right)+4t^2 y''\left(t^2\right) \end{cases} .\] Comme \(y\) est solution de la première équation, \(z\) est solution de  : \(f''-f=0\). Par conséquent, il existe \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A\mathop{\mathrm{ch}}t+ B\mathop{\mathrm{sh}}t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto A\mathop{\mathrm{ch}}(\sqrt x)+ B\mathop{\mathrm{sh}}(\sqrt x)\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solution de l’équation sur \(]0,+\infty[\).
Sur \(]-\infty,0[\), on pose \(x = -t^2\) et \(z\left(t\right)=y\left(t^2\right)\). \[\begin{cases} z\left(t\right)&=y\left(-t^2\right)\\ z'\left(t\right)&= -2t y'\left(-t^2\right)\\ z''\left(t\right)&= -2y'\left(t^2\right)+4t^2 y''\left(t^2\right) \end{cases} .\] Donc \(z''\left(t\right) = - z\left(t\right)\). Donc il existe \(\left(A',B'\right)\in\mathbb{R}^2\) tel que \(z:t\mapsto A'\mathop{\mathrm{ch}}t+ B'\mathop{\mathrm{sh}}t\). La fonction \(y\) est alors donnée par : \(y:x\mapsto A'\cos (\sqrt {-x})+ B'\sin (\sqrt{-x})\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solution de l’équation sur \(]-\infty,0[\).
Pour avoir une solution sur \(\mathbb{R}\), la continuité en zéro impose \(A = A'\). La continuité en zéro de la dérivée impose \(B = B'\). Réciproquement, si on se donne \((A,B)\in\mathbb{R}^2\), la fonction \(\psi_{A,B}\) définie par \(\psi_{A,B}(x) = A\mathop{\mathrm{ch}}(\sqrt x)+ B\mathop{\mathrm{sh}}(\sqrt x)\) pour \(x\geqslant 0\) et \(\psi_{A,B}(x) = A\cos (\sqrt {-x})+ B\sin (\sqrt{-x})\) est solution sur \(\mathbb{R}\).


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