On se propose de résoudre l’équation différentielle : \[\left(E\right)~: y''+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2x^2}y=0.\]

  1. Soit \(y\) une solution du problème. On pose pour tout \(t\in\mathbb{R}\) : \(z\left(t\right)=y\left(e^t\right)e^{-{\scriptstyle t\over\scriptstyle 2}}\).

    1. Exprimer \(y\left(x\right)\) en fonction de \(z\left(\ln\left(x\right)\right)\) pour tout \(x>0\).

    2. En déduire que la fonction \(t\mapsto z\left(t\right)\) vérifie sur \(\mathbb{R}\) une équation \(\left(E'\right)\) d’ordre \(2\) à coefficients constants.

    3. Résoudre \(\left(E'\right)\).

  2. Résoudre \(\left(E\right)\).


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[ID: 2056] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Résolution par changement de fonction inconnue ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1038
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44
    1. Soit \(t\in \mathbb{R}\) et \(x\in\mathbb{R}_+^*\) tels que \(t=\ln x\). Si \(z\left(t\right)=y\left(e^t\right)e^{-{\scriptstyle t\over\scriptstyle 2}}\) alors \(y\left(x\right)=\sqrt x z\left(\ln x\right)\).

    2. Pour \(x\in\mathbb{R}_+^*\), on déduit de l’égalité précédente que : \[y'\left(x\right) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt x} \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} z\left(\ln x\right) + z'\left(\ln x\right)\right) \quad \textrm{ et} \quad y''\left(x\right) = \dfrac{1}{x\sqrt x}\left(z''\left(\ln x\right)-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}z\left(\ln x\right)\right)\] En remplaçant dans \(\left(E\right)\), on obtient, pour tout \(t\in\mathbb{R}\) : \[\left(E'\right)~: z''\left(t\right) + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}z\left(t\right)\] qui est une équation du second degré à coefficients constants.

    3. D’après le cours, ses solutions sont les fonctions : \[z: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \alpha \cos {\scriptstyle t\over\scriptstyle 2} + \beta \sin {\scriptstyle t\over\scriptstyle 2} \end{array} \right.\]\(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\).

  1. On en déduit que les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \[y: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \alpha \cos {\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle 2} + \beta \sin {\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle 2} \end{array} \right.\]\(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\).


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