Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \[\left(E\right)~\quad -\left(x^4+2x^2+1\right) y'' +4 x\left(x^2+1\right) y' +\left(x^4-4x^2+3\right) y = 0\] en introduisant la fonction \(z\left(x\right)={\scriptstyle y\left(x\right)\over\scriptstyle 1+x^2}\).


Barre utilisateur

[ID: 2054] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Résolution par changement de fonction inconnue ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 982
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44

Supposons qu’il existe une solution \(y\) de \(\left(E\right)\). Considérons pour tout \(x\in\mathbb{R}\) la fonction donnée par \(z\left(x\right)={y\left(x\right)}/{1+x^2}\). Comme : \[y\left(x\right)=\left(1+x^2\right)z\left(x\right),\quad y'\left(x\right)=\left(1+x^2\right)z'\left(x\right)+2x z\left(x\right) \quad \textrm{ et} \quad y''\left(x\right)=\left(1+x^2\right)z''\left(x\right)+4z'\left(x\right)+2z\left(x\right),\] en remplaçant dans \(\left(E\right)\), on trouve que la fonction \(z\) est alors solution de l’équation du second degré à coefficients constants : \(z''-z=0\). Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \alpha e^x + \beta e^{-x} \end{array} \right.\)\(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\). Par conséquent \(y\) est de la forme : \[\boxed{\psi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left(\alpha e^x + \beta e^{-x}\right)\left(1+x^2\right) \end{array} \right. }\] avec \(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\). On vérifie réciproquement que toute fonction de cette forme est solution de \(\left(E\right)\).


Documents à télécharger