Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \[\left(E\right):\quad y''+4ty'+(11+4t^2)y = 0\] en introduisant la fonction \(z\left(t\right)=e^{t^2} y\left(t\right)\).


Barre utilisateur

[ID: 2052] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Résolution par changement de fonction inconnue ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 199
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44

Supposons qu’il existe une solution \(y\) de \(\left(E\right)\). Considérons, pour tout \(t\in\mathbb{R}\), la fonction \(z\) donnée par : \(z\left(t\right)=e^{t^2} y\left(t\right)\), soit \(y(t) = e^{-t^2}z(t)\). D’où \(y'(t) = (z'-2tz)e^{-t^2}\) et \(y''(t) = (z'' - 4tz' + (4t^2-2)z(t))e^{-t^2}\). Donc \(0 = y''(t)+4ty'(t)+(11+4t^2)y(t) = (z''(t) - 4tz'(t) + (4t^2-2)z + 4tz' - 8t^2 + 11 + 4t^2)e^{-t^2} = (z'' + 9 z)e^{- t^2}\). Donc \(z\) vérifie l’équation du second degré à coefficients constants : \(z''+9z=0\). Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : \(\varphi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \alpha \cos 3t + \beta \sin 3t \end{array} \right.\)\(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\). Par conséquent \(y\) est de la forme : \[\boxed{\psi_{\alpha,\beta}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left(\alpha \cos 3t + \beta \sin 3t\right)e^{-t^2} \end{array} \right. }\] avec \(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\). On vérifie réciproquement que les fonctions de cette forme sont solution de l’équation.


Documents à télécharger