Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle  : \[\left(t^2+1\right)y''+\left(t^2-2t+1\right)y'-2ty=0\] en introduisant la fonction \(z=y'+y\).


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[ID: 2050] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Résolution par changement de fonction inconnue ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 637
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44

Remarquons que l’équation s’écrit aussi : \(\left(t^2+1\right)\left(y''+y'\right)-2t(y+y')=0\). Supposons qu’il existe une solution \(y\) de l’équation différentielle. Posons \(z=y'+y\). La fonction \(z\) vérifie : \(\left(1+t^2\right)z'-2tz=0\). Cette équation est linéaire et du premier degré. Ses solutions sont les fonctions : \(z_\alpha:t\mapsto \alpha \left(t^2+1\right)\). Reste à résoudre \(y'+y= \alpha \left(t^2+1\right)\). Ses solutions sont : \(\boxed{t\mapsto \alpha\left(t^2-2t+3\right)+\beta e^{-t}}\) avec \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). On en déduit que \(y\) est de cette forme. Réciproquement, toute fonction de cette forme est solution de l’équation différentielle.


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