Résoudre en fonction de \(m \in \mathbb{R}\): \[(E_m) \quad y''-2y'+my=\cos x\]


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[ID: 2046] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 513
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44

On note \(\mathscr S_m\) l’ensemble solution de cette équation différentielle. Le discriminant réduit de l’équation caractéristique vaut \(1-m\). On est donc conduit à étudier les trois cas :

  1. Si \(m<1\), on trouve \(\mathscr S_m=\{x\mapsto \dfrac{m-1}{(m-1)^2+4} \cos x - \dfrac{2}{(m-1)^2+4}\sin x + A\mathop{\mathrm{ch}}\left( (1+\sqrt{1-m})x\right) + B \mathop{\mathrm{sh}}\sqrt{1-m}x ~|~ A,B\in\mathbb{R}\}\)

  2. Si \(m=1\), on trouve \(\mathscr S_m=\{ x\mapsto-\dfrac{\sin x }{2} +Ae^x + Bxe^x ~|~ A,B\in\mathbb{R}\}\)

  3. Si \(m>1\), on trouve \(\mathscr S_m=\{x\mapsto \dfrac{-2\sin x +(m-1)\cos x}{(m-1)^2+4} + e^x\left( A\cos \left( (\sqrt{m-1})x\right)+B\sin \left( (\sqrt{m-1})x\right)\right) ~|~ A,B\in\mathbb{R}\}\).


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