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[ID: 2044] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 401
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:44

1. On détermine facilement les solutions de l’équation homogène. Comme \(1\) est une racine double de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière de la forme \(t\mapsto t^2\left(at+b\right)e^t\) et on trouve \(a=1/6\) et \(b=0\). Finalement, les solutions de l’équation sont les fonction \(t\mapsto \left(At+B\right)e^t+1/6t^3e^t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

2. On montre facilement que les solutions de l’équation sont les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos t + B\sin t\right)e^{2t}-3/13 \cos 2t-2/13 \sin 2t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

3. On détermine facilement les solutions de l’équation homogène. On cherche une solution particulière de l’équation différentielle : \(y''+9y=e^{\left(1+2i\right)t}\) sous la forme \(t\mapsto ae^{\left(1+2i\right)t}\). On trouve \(a=3/26-i/13\). Une solution particulière de \(\left(E\right)\) est donnée par la partie réelle de cette fonction, soit \(t\mapsto 1/26\left(3\cos 2t+2\sin 2t\right)e^t\) et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions : \(t\mapsto A\cos 3t + B\sin 3t + 1/26\left(3\cos 2t+2\sin 2t\right)e^t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\)..

4. On montre facilement que les solutions de l’équation sont les fonctions \(t\mapsto \dfrac{1}{3}te^t+Ae^t+Be^{-5t}\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

5. On cherche une solution particulière de \(y''+y'+y=e^{\left(1+i\right)t}\) de la forme \(t\mapsto ae^{\left(1+i\right)}t\). On trouve alors une solution particulière de \(\left(E\right)\) qui est \(t\mapsto ({2}/{13}\cos t + {3}/{13}\sin t)e^t\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions :\(t\mapsto (\dfrac{2}{13}\cos t + \dfrac{3}{13}\sin t)e^t + A e^{-{\scriptstyle t\over\scriptstyle 2}} \cos \dfrac{\sqrt{3}}{2}t + B e^{-{\scriptstyle t\over\scriptstyle 2}} \sin \dfrac{\sqrt{3}}{2} t\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).

6. On montre facilement que les solutions de l’équation sont les fonctions \(t\mapsto \left( -\dfrac{1}{3}t^3 - t^2 -3t \right)e^t + Ae^t+Be^{2t}\) avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).