Résoudre les équations différentielles \(\left(E\right)\) données par :

  1. \(y''-3y'+2y=e^t\)

  2. \(y''-4y'+4y=(t^2+1)e^{2t}\)

  3. \(y''+2y'+5y=\cos^2t\)

  4. \(y''+y=\sin 2t\)

  5. \(y''+y'-2y=\sin t e^t\)

  6. \(y''-4y'+4y=e^t+(3t-1)e^{2t}+t-2\)


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[ID: 2042] [Date de publication: 12 mai 2021 13:44] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 160
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:44
  1. Les racines de l’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\) sont \(1\) et \(2\). Les solutions de l’équation générale sont les fonctions \(t\mapsto Ae^t+Be^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\). Comme \(1\) est une racine de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière de \(\left(E\right)\) de la forme : \(t\mapsto a te^{t}\). On trouve \(a=-1\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions \(t\mapsto \left(A-t\right)e^t+Be^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  2. \(2\) est une racine double de l’équation caractéristique associée à l’équation. Les solutions de l’équation homogène sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(At+B\right)e^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\). On cherche une solution particulière de \(\left(E\right)\) sous la forme : \(t^2\left(at^2+bt+c\right)e^{2t}\). On trouve alors \(a=1/12\), \(b=0\) et \(c=1/2\). Les solutions de \(E\) sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(t^2/12\left(6+t^2\right)+At+B\right)e^{2t}\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  3. L’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\) admet deux racines complexes conjuguées \(-1\pm 2i\). Les solutions de l’équation homogène sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos 2t + B\sin 2t\right)e^{-t}\). Linéarisons le second membre, on obtient : \(\cos^2 t=1/2\left(1+\cos 2t\right)\). Une solution particulière de \(y''+2y'+5y=1/2\cos \left(2t\right)\) est \(t\mapsto 1/34 \cos 2t +2/17 \sin 2t\). Une solution particulière de \(y''+2y'+5y=1/2\) est la fonction constante :\(t\mapsto 1/10\). On applique alors le principe de superposition et les solutions de \(\left(E\right)\) sont les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos 2t + B\sin 2t\right)e^{-t}+1/34 \cos 2t +2/17 \sin 2t+1/10\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  4. L’équation caractéristique associée à \(\left(E\right)\) admet deux racines complexes conjuguées \(\pm i\). Les solutions de l’équation homogène sont donc les fonctions : \(t\mapsto A\cos t+B\sin t\) avec \(A,B\in\mathbb{R}\). On cherche une solution particulière de \(\left(E\right)\) de la forme \(t\mapsto a\cos 2t+b\sin 2t\). On trouve \(a=0\) et \(b=-1/3\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont donc les fonctions \(t\mapsto \left(A\cos t + B\sin t\right)-1/3 \sin 2t\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  5. On vérifie facilement que les solutions de l’équation homogène sont les fonctions : \(t\mapsto A e^t+Be^{-2t}\). Introduisons l’équation complexe \(y''+y'-2y=e^{\left(1+i\right)t}\). On calcule une solution particulière facilement :\(t\mapsto -e^t/10 \left(3\cos t+\sin t\right)\). Les solutions de \(\left(E\right)\) sont donc les fonctions : \(t\mapsto A e^t+Be^{-2t}-e^t/10 \left(3\cos t+\sin t\right)\) avec \(\left(A,B\right)\in\mathbb{R}^2\).

  6. On détermine facilement les solutions de l’équation homogène. On utilise le principe de superposition pour chercher une solution particulière. On trouve la solution générale : \[t\mapsto e^t + \dfrac{t^3-t^2}{2}e^{2t} + \dfrac{t-1}{4} +(At+B)e^{-t}\] avec \((A, B) \in \mathbb{R}^{2}\).


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