Trouver toutes les fonctions \(f:[0,+\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continues sur l’intervalle \(I = [0, +\infty[\), vérifiant : \[\forall x\in ]0, +\infty[, \quad 2xf(x)=3\int_0^x f(t) dt\]

Cet exercice utilise le théorème fondamental de l’analyse [thm:fondamental] page [thm:fondamental].

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[ID: 2040] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 918
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Comme \(f\) est continue, par application du théorème fondamental de l’analyse, il existe une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\) qui s’annule en \(0\). On a de plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\), la relation : \(\quad 2xf(x)=3F\left(x\right)\) qui permet d’affirmer que, comme \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\), il en est de même de \(f\). La fonction \(f\) est alors solution de l’équation différentielle : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad 2xf'\left(x\right)-f\left(x\right)=0\] et donc il existe \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que \(\boxed{f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \alpha\sqrt{x} \end{array} \right. }\). Réciproquement, on vérifie que les fonctions de cette forme sont solutions de l’équation fonctionnelle de départ.


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