On considère une fonction \(a : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue et \(T\)-périodique. Montrer que pour toute solution non-nulle \(\varphi\) de l’équation différentielle \[(E)~:y' - a(x) y = 0\] il existe un unique réel \(\alpha\) tel que la fonction définie par \(\psi(x) = e^{-\alpha x} \varphi(x)\) soit \(T\)- périodique.

Cet exercice utilise le théorème fondamental de l’analyse [thm:fondamental] page [thm:fondamental].

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[ID: 2038] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 739
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Soit une solution \(\varphi\) de l’équation différentielle. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \[\varphi(x) = \varphi(0) e^{\int_0^x a(t)\mathrm{ \;d}t}\] Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). La fonction \(\psi\) donnée par \(\psi(x) = e^{-\alpha x}\varphi(x)\) vérifie alors \[\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_x^{x+T}a(t)\mathrm{ \;d}t}\] Mais la fonction définie par \(A(x) = \int_x^{x+T} a(t)\mathrm{ \;d}t\) est de classe \(\class{1}\) sur \(\mathbb{R}\) d’après le théorème fondamental, et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(A'(x) = a(x+T) - a(x) = 0\). Par conséquent, \(\dfrac{\psi(x+T)}{\psi(x)} = e^{-\alpha T + \int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t}\). On doit donc avoir \[\alpha = \dfrac1T\int_0^T a(t)\mathrm{ \;d}t\] et on vérifie réciproquement que \(\psi\) est \(T\)-périodique.


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