Résoudre pour un entier \(n \geqslant 1\) l’équation différentielle : \[(E_n)~: y' + \dfrac{nx}{x+1}y = (x+1)^n e^x\] sur l’intervalle \(I = ]-1, +\infty[\).


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[ID: 2036] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 897
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

L’ensemble des solutions de l’équation homogène est \[\mathcal{S}_H = \{x\mapsto C e^{-nx}(x+1)^n~;~C \in \mathbb{R} \}\] On cherche une solution particulière sous la forme \[y(x) = C(x) e^{-nx}(x+1)^n\] et la méthode de la variation de la constante donne \[C'(x) = e^{(n+1)x}\] Une solution particulière est \[y(x) = \dfrac{(x+1)^n e^x}{n+1}\] L’ensemble des solutions est donc \[\mathcal{S} = \{ x\mapsto\dfrac{e^x(x+1)^n}{n+1} + Ce^{-nx}(x+1)^n~; C\in \mathbb{R} \}\]


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