Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f(x) = \sin x + 2\int_0^x e^{x-t}f(t)\mathrm{ \;d}t.\]

Cet exercice utilise le théorème fondamental de l’analyse [thm:fondamental] page [thm:fondamental].

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[ID: 2034] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 158
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Soit \(f\) une telle fonction. Elle vérifie : \[\forall x\in \mathbb{R} ,~ f(x) = \sin x + 2e^x \int_0^x e^{-t}f(t)\mathrm{ \;d}t\] D’après le théorème fondamental de l’analyse, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \[f'(x) = \cos x + 2f(x) + 2e^x \int_0^xe^{-t}f(t)\mathrm{ \;d}t = 3f(x) + \cos x - \sin x\] Par conséquent, \(f\) doit être une solution de l’équation différentielle \[(E)~: y' - 3y = \cos x - \sin x\] On cherche l’ensemble des solutions de \((E)\) et on trouve \[\mathcal{S}_E = \{ Ce^{3x} - \dfrac{1}{4}\cos x + \dfrac{1}{5} \sin x \}\] Puisque \(f(0) = 0\), il vient : \[f(x) = \dfrac{1}{5}e^{3x} - \dfrac{1}{5}\cos x + \dfrac{2}{5}\sin x\] et on vérifie que cette fonction convient.


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