Soit \(k>0\). Montrer qu’il existe une unique condition initiale \(y_0\in \mathbb{R}\) telle que la solution du problème de Cauchy \[y'-ky=\sin t \quad y(0)=y_0\] soit bornée sur \([0,+\infty[\).


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[ID: 2032] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 342
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

On cherche la solution générale de l’équation différentielle , avec une solution particulière de la forme \(t\mapsto A\cos t + B\sin t\). On trouve que les solutions sont les fonctions : \[y(t)= -\dfrac{1}{k^2+1}\left( k\sin t + \cos t \right) + Ce^{kx}\] Pour qu’une telle solution soit bornée sur \([0,+\infty[\), il faut et il suffit que \(C=0\) et alors \[y(x)= -\dfrac{1}{k^2+1}\left( k\sin t + \cos t \right)\] qui correspond à la donnée initiale \(y(0)=-\dfrac{1}{k^2+1}\).


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