Résoudre sur les intervalles spécifiés les équations différentielles suivantes :

  1. \(y'+\left(\tan x\right)~ y-\sin 2x =0\) sur \(\left]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\).

  2. \(\mathop{\mathrm{sh}}x ~ y' -\mathop{\mathrm{ch}}x y=1\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) puis sur \(\mathbb{R}_-^*\).

  3. \(x^3y'+4\left(1-x^2\right)y=0\) sur \(\mathbb{R}_+^*\).

  4. \(\sqrt{x^2-1}~y'+y=1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\).

  5. \({\sin^3 x}~ y' = 2\cos x ~ y\) sur \(\left]0,\pi\right[\).


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[ID: 2030] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 561
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur l’intervalle spécifié, on résout l’équation homogène associée puis on cherche, si nécessaire, une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2\, \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}+\alpha\cos \left( x \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -\mathop{\mathrm{ch}}x+\alpha\mathop{\mathrm{sh}} \left( x \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\). Le \(\alpha\) trouvé pour \(\mathbb{R}_+^*\) n’a rien à voir avec le \(\alpha\) trouvé pour \(\mathbb{R}_-^*\).

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \alpha\,{e^{2\,{x}^{-2}}}{x}^{4} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1+\alpha e^{-\mathop{\mathrm{argch}} x} } = 1 + \dfrac{\alpha}{x+\sqrt{x^2-1}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto {\alpha\,{e^{2\, \left( -1+\cos \left( 2\,x \right) \right) ^{-1}}} } = \alpha\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin^2x}\right) ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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