Résoudre sur les intervalles spécifiés les équations différentielles suivantes :

  1. \(y'+y \mathop{\mathrm{cotan}}x = \sin x\) sur \(\left]0,\pi\right[\).

  2. \(xy'+y=\sin^3 x\) sur \(\mathbb{R}^*_-\).

  3. \(x\left(1+\ln^2 x\right)y'-2\ln x ~y= \left(1+\ln^2 x\right)^2\).

  4. \(\sin x~ y'-\cos x~ y+1=0\) sur \(\left]0,\pi\right[\).

  5. \(y'+\left(\tan x\right) y = \cos^3 x\) sur \(\left]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\)

  6. \(\sqrt{1-x^2}y'+y=1\) sur \(\left]-1,1\right[\).


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[ID: 2028] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 961
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur l’intervalle spécifié, on résout l’équation homogène associée puis on cherche, si nécessaire, une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle 1/2\,x-1/4\,\sin \left( 2\,x \right) + \alpha\over\scriptstyle\sin \left( x \right) }} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle 1/12\,\cos \left( 3\,x \right) -3/4\,\cos \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}_+^*}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(1+\ln^2 x\right) \left(\alpha + \ln x\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto {{{\scriptstyle\sin \left( x \right) \over\scriptstyle\tan \left( x \right) }}+\alpha\sin \left( x \right) } = \cos x + \alpha\sin x ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \cos \left( x \right) \left( 1/4\,\sin \left( 2\,x \right) +1/2\,x + \alpha \right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1+\alpha{e^{-\operatorname{arcsin} \left( x \right) }} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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