Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

  1. \(\left(2+\cos x\right)y'+\sin x~ y =\left(2+\cos x\right)\sin x\).

  2. \(y'-y=e^x \sin 2 x\) .

  3. \(\left(1+e^x\right)y'+e^x ~y=1+e^x\) .

  4. \(\mathop{\mathrm{ch}}x ~ y' -\mathop{\mathrm{sh}}x~ y=\mathop{\mathrm{sh}}^3 x\).

  5. \(\left(1+\cos^2 x\right)y'-\sin 2x ~ y = \cos x\)

  6. \(\left(x^2+1\right)y'+xy=1\)

  7. \(y'-{\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}x\over\scriptstyle 1+\mathop{\mathrm{ch}}x}y=\mathop{\mathrm{sh}}x\).


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[ID: 2026] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 124
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur \(\mathbb{R}\), on résout l’équation homogène associée puis on cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(2+\cos x\right)\left(\alpha -\ln\left(2+\cos x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) +\alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \dfrac{\alpha+x+e^x}{1+e^x} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \mathop{\mathrm{ch}}x\left(\alpha + \mathop{\mathrm{ch}}x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}x}\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) + \alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle\mathop{\mathrm{argsh}} \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle \sqrt {1+{x}^{2}}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  7. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\left(\alpha + \ln\left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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