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[ID: 2026] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 124
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur \(\mathbb{R}\), on résout l’équation homogène associée puis on cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante.

1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(2+\cos x\right)\left(\alpha -\ln\left(2+\cos x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) +\alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \dfrac{\alpha+x+e^x}{1+e^x} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \mathop{\mathrm{ch}}x\left(\alpha + \mathop{\mathrm{ch}}x + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\mathrm{ch}}x}\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,{e^{x}}\cos \left( 2\,x \right) + \alpha{e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle\mathop{\mathrm{argsh}} \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle \sqrt {1+{x}^{2}}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

7. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\left(\alpha + \ln\left(1+\mathop{\mathrm{ch}}x\right)\right) } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)