Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

  1. \((1+x^2)y'+2xy=e^x + x\).

  2. \(\left(1+x^2\right)y'+xy=\sqrt{1+x^2}\)

  3. \(y'+2xy=e^{x-x^2}\).

  4. \(\left(1+x^2\right)y'=xy+\left(1+x^2\right)\).

  5. \(y'+2xy= 2xe^{-x^2}\).

  6. \(\left(x^2+1\right)^2y'+2x\left(x^2+1\right)y=1\) .

  7. \(\sqrt{1+x^2}y'-y=1\).


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[ID: 2024] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 580
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir normalisé si nécessaire l’équation différentielle étudiée et vérifié que l’équation normalisée est définie sur \(\mathbb{R}\), on résout l’équation homogène associée puis on cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante si celle-ci n’est pas évidente.

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle{e^{x}}+1/2\,{x}^{2}+\alpha\over\scriptstyle 1+{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle x+\alpha\over\scriptstyle\sqrt {1+{x}^{2}}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( {e^{x}}+\alpha \right) {e^{-{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { .\left( \mathop{\mathrm{argsh}}\left( x \right) +\alpha \right) \sqrt {1+{x}^{2}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( {x}^{2}+\alpha \right) {e^{-{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { {{\scriptstyle\operatorname{arctan} \left( x \right) +\alpha\over\scriptstyle 1+{x}^{2}}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  7. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1+ \alpha e^{\mathop{\mathrm{argsh}}x} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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