Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

  1. \(y'+2y=x^2\)

  2. \(y'+y=2 \sin x\)

  3. \(y'-y=\left(x+1\right)e^x\)

  4. \(y'+y=x-e^x+\cos x\)

  5. \(y'+y=\left(x^2-2x+2\right)e^{2x}\)

  6. \(y'+y=\sin x + 3 \sin 2x\).


Barre utilisateur

[ID: 2022] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 647
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir résolu l’équation homogène, on cherche une solution particulière. Si celle-ci n’est pas évidente, on utilise ici un des critères [premier_degre_polynome], [premier_degre_exp] ou [equ_diff_sin_cos] ainsi que le principe de superposition [principe_superposition_premier_degre].

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { 1/4-1/2\,x+1/2\,{x}^{2}+\alpha{e^{-2\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -\cos \left( x \right) +\sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/2\,{x}^{2}+x+\alpha \right) {e^{x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { x-1-1/2\,{e^{x}}+1/2\,\cos \left( x \right) +1/2\,\sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/27\, \left( 26-24\,x+9\,{x}^{2} \right) {e^{3\,x}}+\alpha \right) {e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -1/2\,\cos \left( x \right) +1/2\,\sin \left( x \right) -6/5\,\cos \left( 2\,x \right) +3/5\,\sin \left( 2\,x \right) +\alpha{e^{-x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


Documents à télécharger