Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

  1. \(y'+y=\cos x + \sin x\)

  2. \(y'-3y=2\)

  3. \(y'-2x ~ y =\mathop{\mathrm{sh}}x -2x\mathop{\mathrm{ch}}x\)

  4. \(y'+2y=e^{2x}\)

  5. \(y'+y = \sin 2x\)

  6. \(y'-5y=e^{5x}\)


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[ID: 2020] [Date de publication: 12 mai 2021 13:39] [Catégorie(s): Equations différentielles linéaires du premier ordre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 548
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:39

Après avoir résolu l’équation homogène, on cherche une solution particulière. Si celle-ci n’est pas évidente, on utilise ici un des critères [premier_degre_polynome], [premier_degre_exp] ou [equ_diff_sin_cos] ainsi que le principe de superposition [principe_superposition_premier_degre].

  1. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \sin \left( x \right) +\alpha{e^{-x}}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  2. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2/3+\alpha{e^{3\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  3. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \alpha e^{x^2} +\mathop{\mathrm{ch}}x } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  4. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( 1/4\,{e^{4\,x}}+\alpha \right) {e^{-2\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  5. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { -2/5 \cos(2 x)+1/5 \sin(2 x)+\alpha e^{-x}} ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)

  6. \(\varphi_\alpha:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\quad {x}\mapsto { \left( x+\alpha \right) {e^{5\,x}} } ; \quad \alpha\in\mathbb{R}\)


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